Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа

Петя загадал натуральное число $N$, Вася хочет его отгадать. Петя сообщает Васе сумму цифр числа $N+1$, затем сумму цифр числа $N+2$ и т. д. Верно ли, что рано или поздно умный Вася сможет с гарантией установить Петино число? ( М. Дидин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Верно.
Решение. Пусть $10^k \le N < 10^{k+1}.$ Через $10^{k+1}-N$ шагов Петя впервые выпишет единицу, а ещё через $10^{k+2}-10^{k+1} = 9 \cdot 10^{k+1}$ шагов он выпишет единицу второй раз. Зная количество шагов между двумя этими событиями, мы найдем $k$, а зная $k$ и количество шагов до первого события, найдём $N.$