Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа

В вершинах правильного 300-угольника расставлены числа от 1 до 300 по одному разу в некотором порядке. Оказалось, что для каждого числа $a$ среди ближайших к нему 15 чисел по часовой стрелке столько же меньших $a$, сколько и среди 15 ближайших к нему чисел против часовой стрелки. Число, которое больше всех 30 ближайших к нему чисел назовём огромным. Каково наименьшее возможное количество огромных чисел? ( C. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 10.
Решение. Оценка. Чтобы доказать, что огромных чисел не меньше 10, достаточно доказать, что среди любых 30 стоящих подряд чисел встретится огромное. Действительно, пусть это не так. Тогда рассмотрим самое большое из этих 30 чисел. С одной из сторон от него все 15 ближайших чисел будут входить в эту тридцатку, а значит, будут меньше него. Но тогда по условию и 15 ближайших чисел с другой стороны от него будут меньше него, т. е. оно будет огромным. Противоречие.
Пример. Все числа, заканчивающиеся на 0, расставим в таком порядке: 300, 280, 260, 240, $\ldots,$ 20, 290, 270, 250, $\ldots,$ 10. За ними в подобном же порядке расставим числа, заканчивающиеся на 1: 291, 271, $\ldots,$ 11, 281, $\ldots,$ 1, затем аналогично расставим числа, оканчивающиеся на 2, и т. д. пока круг не замкнётся. Нетрудно убедиться, что все условия будут выполнены, а огромными будут только числа от 291 до 300.