20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровРодос, Греция, 2018 год

Дан треугольник $\triangle ABC$. Точки $A'$, $B'$, $C'$ симметричны вершинам относительно противоположных сторон. Описанные окружности $\triangle ABB'$ и $\triangle ACC'$ пересекаются в точке $A_1$. Аналогично определяются точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

$\angle ABC=\angle B$ и т.д отметим что точка $A_{1}$ лежит на пересечений $C’B \cap B’C$ так как из того что $BAB’A_{1} $ вписанный и учитывая симметрию, то $\angle A_{1}BC = 180^{\circ}-2\angle B$ и $\angle A_{1}CB = 180-2\angle C$ что верно так как $\angle BA_{1}C = 180^{\circ}-2\angle A$ учитывая ту же симметрию $AB=AB’$ откуда $AA_{1}$ биссектриса $\angle BA_{1}C$, так же и с другими.

Пусть $E,D,F$ определены как $BC \cap AA_{1} , AB \cap CC_{1} , AC \cap BB_{1}$ соотвественно, по теореме Чевы надо доказать что $N=\frac{BD}{AD} \cdot \frac{AF}{CF} \cdot \frac{ CE}{BE} = 1$ с другой стороны так как $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ биссектрисы, то

$N=\frac{C_{1}B}{C_{1}A} \cdot \frac{AB_{1}}{CB_{1}} \cdot \frac{CA_{1}}{BA_{1}} = \frac{\sin2\angle A}{\sin2\angle B} \cdot \frac{\sin2\angle C}{ \sin2\angle A} \cdot \frac{\sin2\angle B}{ \sin2\angle C} = 1$