Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2018 год

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Из вершины $A$ выходит луч, который достигнув каждой из сторон отражается по обычному закону отражения: угол падения равен углу отражения. После $n$ отражений луч возвращается в вершину $A$ без попадания в другие вершины треугольника. Найдите всевозможные значения числа $n$. ( Daniel Perales, Jorge Garza )

Комментарий/решение

Ответ: все $n \equiv 1,5 \pmod 6$, за исключением $5$ и $17$.

Как обычно, мы будем рисовать равностороннюю сетку, полученную путем многократного отражения треугольника. Затем мы накладываем на сетку такие координаты, что $A = (0,0)$, $B = (1,0)$, $C = (0,1)$. Тогда точками, соответствующими отражениям $A$, будут точки $P = (a,b)$ такие, что $a \equiv b \pmod 3$.

Заметьте, что условие обхода других вершин равнозначно $\gcd(a,b) = 1$. Более того, при переходе от $(0,0)$ к $(a,b)$ мы переходим ровно $(a-1) + (b-1) + (a+b-1) = 2(a+b) - 3$ стороны, то есть $n = 2(a+b)-3$.

Отсюда следует, что мы должны иметь $\gcd(n,6) = 1$, поскольку $n$ нечетно, и $n \equiv 4a-3 \not\equiv 0 \pmod 3$ (поскольку $a \equiv b \ not\equiv 0 \pmod 3$).

Теперь можно вручную проверить отсутствие рабочих пар для $n=5$ и $n=17$. Затем мы приводим конструкции для оставшихся $n$:

Для $n = 6k-5$ возьмем $P = (3k-2, 1)$.

Для $n = 12k-1$ возьмем $P = (6k-5, 2)$.

Для $n = 24k+5$ возьмем $P = (6k+5, 6k-1)$.

Для $n = 24k+17$ возьмем $P = (6k+11, 6k-1)$