59-я Международная Математическая Oлимпиада Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ удовлетворяет условию $AB \cdot CD = BC \cdot DA.$ Точка $X$ внутри четырёхугольника $ABCD$ такова, что $\angle{XAB} = \angle{XCD}$ и $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Докажите, что $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^\circ$.

Комментарий/решение

Исполним инверсию в точке $X$ с любым радиусом, пусть точка $S$ переходит в точку $S^{\ast}$. Легко заметить, что $D^{\ast}A^{\ast}B^{\ast}C^{\ast}$ подобен $ABCD,$ при этом $$A^{\ast}B^{\ast}\cdot C^{\ast}D^{\ast}=B^{\ast}C^{\ast}\cdot D^{\ast}A^{\ast}$$

Значит в четырехугольнике $A^{\ast}B^{\ast}C^{\ast}D^{\ast}$, существует точка которая изогонально сопряжена $X$, откуда по известной лемме следует, что $\angle BXA + \angle DXC =180^{\circ}$ ч.т.д.