Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год

Дано натуральное число $n$ и простое число $p$. Оказалось, что произведение $(1^3+1)(2^3+1)\ldots ((n-1)^3+1)(n^3+1)$ делится на $p^3$. Докажите, что $p\leq n+1$. ( Z. Luria )