Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс

На доске написаны 100 чисел: $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\ldots$, $\frac{1}{100}$. Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа $a,~b$ стираются и вместо них пишется одно число $a+b+ab$. Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?

Комментарий/решение

В задаче подразумевается что ответ один.

В таком порядок не имеет значения будем прибавлять по очереди все числа к самому первому

Нетрудно заметить что каждый раз число увеличивается на 1

И действительно исходя из формулы

S{2}=1+1/2 +1/2=2

И во всех последующих будет

S{n+1}=n+ 1/(n+1) +n/(n+1) ==> s{n+1}= n+1

А значит их сумма равна 100

В первой строке предыдущего сообщения я имел ввиду что есть 1вариант ответа а не то, что он равен 1

Тақтада жазылған 100 санды келесі түрде жазайық.

\[1, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots, \frac{1}{n+98}\]

мұндaғы \(n = 2\)

Есеп шарты бойынша:

\[1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{2}{n}\]

\[\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+1}\]

\[\frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4} + \frac{1}{(n+3)(n+4)} = \frac{2}{n+3}\]

\[\vdots\]

\[\frac{1}{n+97} + \frac{1}{n+98} + \frac{1}{(n+97)(n+98)} = \frac{2}{n+97}\]

Ал бізде \(n = 2\) болғандықтан:

\[\frac{1}{2+97} + \frac{1}{2+98} + \frac{1}{(2+97)(2+98)} = \frac{2}{2+97} = \frac{2}{99}\]

Сонымен, 100 саннан \(2, \frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \ldots, \frac{2}{99}\) барлығы 50 сан қалады. Кезекті операциядан кейін:

\[2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 4\]

\[\frac{2}{5} + \frac{2}{7} + \frac{4}{35} = \frac{4}{5}\]

\[\frac{2}{9} + \frac{2}{11} + \frac{4}{99} = \frac{4}{9}\]

\[\vdots\]

\[\frac{2}{97} + \frac{2}{99} + \frac{4}{97 \cdot 99} = \frac{4}{97}\]

Яғни 50 саннан \(4, \frac{4}{5}, \frac{4}{9}, \ldots, \frac{4}{97}\) барлығы 25 сан қалады. Келесі кезекті операциядан соң 25 саннан \(8, \frac{8}{9}, \frac{8}{17}, \ldots, \frac{8}{89}\) барлығы.

Операциядан тыс қалған бір сан \(\frac{4}{97}\) болады. Осылайша операцияны 2 сан қалғанша жалғастырсақ, кезекті операцияның соңында:

\[64, \frac{36}{65}\]

Ең соңғы операциядан кейін алатынымыз:

\[64 + \frac{36}{65} + \frac{2304}{65} = 100\]

Жауабы: 100