Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Дана таблица $(2k+1)\times (2k+1)$ в каждой клетке которой записано целое число. В каждый момент времени во все клетки записывается сумма чисел, стоящих в соседних клетках (клетки считаются соседними, если имеют общее ребро). Можно ли получить таблицу с нечетными числами, если первоначально среди них были и четные числа?

Комментарий/решение

Жауабын ұзақ уақыт бойы жазып ем... жоғалып кетті ғой. Жақсы қайтадан жазайын... бірақ қысқа қып.

Есеп шарты бойынша біз қабырғасы 2к+1 ге тең квадратқа иеміз. Бұның ішіндегі сандарды нөмірлеп шығайық. {а1,а2,а3.... а(2к+1)^2} бұндағы а-ның жанындағы сандар индекстер, яғни нөмірлері. Бұлар жұп сандар мен тақ сандарда бола алады. Енді тек тақ саннан құралған жиынды осы шақпаққа орналастырайық. Олар {b1, b2, b3,....b(2k+1)^2}.

Енді талдаймыз. b1=a2+a(2k+2) b1 тақ сан болу үшін бұл екі санның біреуә міндетті түрде тақ, біреуі міндетті түрде жұп болу керек. а2-ні жұп сан деп алайық. b2=a1+a(2k+3)+a3. Бұл жағдайда не екеуі жұп сан, біреуі тақ сан болу керек немесе 3еуіде тақ сан болу керек. Екінші вариантты қабылдаймыз. Дәл осылай келсі сандарды талдаймыз.Осылайша 1ші қатардың тақ-жұп-тақ-жұп-тақ заңдылығы бойынша, ал екінші қатардың тек тақ сандардан құралғанын біле аламыз. Талдауды жалғастыра отырып кестеміз мына күйге келеді. Сонымен бәрін тақ сан болатындай толтыра аламыз.