Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Найдите все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие соотношению: $$(x-27)P(3x)=27(x-1)P(x).$$

Комментарий/решение

$$ x=1: \quad -26P(3)=0\Rightarrow P(3)=0 \Rightarrow P(x)=(x-3)P_1(x)$$

$$\Rightarrow (x-27)(3x-3)P_1(3x)=27(x-1)(x-3)P_1(x)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (x-27)P_1(3x)=9(x-3)P_1(x)$$

$$ x=3: \quad -24P_1(9)=0\Rightarrow P_1(9)=0 \Rightarrow P_1(x)=(x-9)P_2(x)$$

$$\Rightarrow (x-27)(3x-9)P_2(3x)=9(x-3)(x-9)P_2(x)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (x-27)P_2(3x)=3(x-9)P_2(x)$$

$$ x=9: \quad -18P_2(27)=0\Rightarrow P_2(27)=0 \Rightarrow P_2(x)=(x-27)P_3(x)$$

$$\Rightarrow (x-27)(3x-27)P_3(3x)=3(x-9)(x-27)P_3(x)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow P_3(3x)=P_3(x) \Rightarrow P_3(x)=a_0 $$

$$ P(x)=a_0(x-3)(x-9)(x-27)$$