Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Пусть функция $f(n)$ определена на всех натуральных $n$, а её значения могут быть целыми неотрицательными числами. Пусть $f$ удовлетворяет следующим условиям:
а) $f(mn) = f(m) + f(n)$ для всех натуральных $m$ и $n$;
б) $f(n) = 0$ для всех натуральных $n$, заканчивающихся на цифру 3 (Например, $0=f(3)=f(13)=f(23)= \dots $);
с) $f(2030)=0$;
Докажите, что $f(n)=0$ для всех натуральных $n$.

Комментарий/решение

Так как $0=f(2030)=f(10)+f(203)=f(10)=f(2)+f(5)$ $f(2)=f(5)=0$. Пусть натуральные числа $a,b,c,d,e$ будут оканчиватся на цифры $1,3,5,7,9$. Тогда $0=f(ab)=f(a)+f(b)=f(a)$ и $0=f(de)=f(d)+f(e)$, $f(a)=f(d)=f(e)=0$. Так как $f(2k)=f(2)+f(k)$, $f(2^pq)=f(q)$, и $f(5l)=f(5)+f(l)$,$f(5^ji)=f(i)$, тогда $f(2^x5^yz)=f(z)=0$ (где $k,p,q,l,j,i,x,y$ натуральные числа, а z нечетное число не делящееся на 5). Тогда $f(n)=0$ для любого натурального $n$.