Республиканская олимпиада по физике 2018, 10 класс, теоретический тур

(10 баллов)
Часть 1.1 (3 балла).

Длинный цилиндр радиуса $r$ вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega_0$ и прижимается к диску радиуса $R$ так, что давление равномерно распределено вдоль линии касания. Диск может свободно вращаться вокруг своей оси, а линия касания цилиндра и диска совпадают с радиусом диска. Найдите угловую скорость $\omega$ вращения диска.
Часть 1.2 (3.5 балла).

Небольшой шарик радиуса $r$ и массы $m$ подвешен на шарнире с помощью непроводящего стержня длиной $l$. Слева от шарнира на расстоянии $L>l\gg r$ располагается вертикальная бесконечная проводящая плоскость. Шарику с помощью источника напряжения, показанного на рисунке, сообщают заряд, после чего он отклоняется на угол $a$ и вновь возвращается в исходное положение. Найдите напряжение источника питания $U$, если ускорение свободного падения равно $h$.
Часть 1.3 (3.5 балла). Человек рассматривает свое собственное изображение в плоскопараллельной пластине толщиной $h=15$ см, изготовленной из стекла с показателем преломления $n=1,5$. При этом он наблюдает целый ряд изображений своего лица, отстоящих на одинаковом расстоянии $L$ друг от друга. Найдите $L$.

Комментарий/решение

1.1

( 1 )Условие равномерного вращения диска: $\Sigma \vec{M}=0$

$$\vec{M}=\vec{f_{тр}}\times\vec{l}$$

( 2 ) Так как стержень расположен вдоль радиуса очевидно что: $$\vec{f_{тр}}\bot\vec{r}\Rightarrow \vec{f_{тр}}\bot\vec{l}\Rightarrow \vec{f_{тр}}\times\vec{l}=f_{тр}\cdot l\cdot \hat{i}$$ (где $\hat{i}$ - единичный вектор направление которого согласовано с правилом буравчика)

( 3 ) По условию давление распростронено равномерно, следует: $d|\vec{f_{тр}}|=C d{l}$

(где C-некая константа связанная с давлением стержня на плоскость диска)

Из уравнений ( 2 ) и ( 3 ) следует: $d|\vec{M}|=C\cdot l \cdot d{l}$

Сила трения изменяет своё напровление в после точки $l_{1}=\frac{\omega_{0}r}{\omega}$

Следовательно чтобы выполнялось условие ( 1 ):

$$ \int \limits_{0}^{l_{1}} { C\cdot l \cdot d{l}} = \int \limits_{l_{1}}^{L} { C\cdot l \cdot d{l}} \Rightarrow ({\frac{\omega_{0}r}{\omega}})^2=L^2-({\frac{\omega_{0}r}{\omega}})^2 \Rightarrow \omega=\frac{\sqrt{2} \omega_{0} r}{L}$$