Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Докажите, что любое натуральное число представимо в виде $x^2-y^2+z^2$, где $x$, $y$, $z$ — натуральные числа.

Комментарий/решение

$(k+1)^2-k^2+1=2k+2$

$(k+1)^2-k^2+4=2k+5$

остаеться доказать для чисел $n=1,2,3,5,$

Если кто-то не смог:

$1=1^2-1^2+1^2$

$2=3^2-4^2+3^2$

$3=6^2-7^2+4^2$

$5=5^2-6^2+4^2$.

квадрат можно представить как $x^2=a+2k+1$ , $k \geq 0 $

$a=x^2-(2k+1)=x^2-((k+1)^2-k^2)=x^2-(k+1)^2+k^2=x^2-y^2+z^2$

к примеру $5=6^2-16^2+15^2$