Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Докажите, что для любых вещественных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство $$ \left|\frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|\leq \frac{1}{2}. $$

Комментарий/решение

Заменим $x=\tan a, y = \tan b$. Тогда после не трудных тригонометрических преобразовании, неравенство перейдет: $$|(\sin a \cos b+\sin b\cos a)(\cos a\cos b-\sin a\sin b)| \leq \dfrac{1}{2}$$

$$|\sin(a+b)\cdot\cos(a+b)| \leq \dfrac{1}{2}$$

$$|2\cdot\sin(a+b)\cdot\cos(a+b)| \leq 1$$

$$|\sin(2a+2b)| \leq 1$$ А это неравенство очевидно верно

$(x+y)^2+(1-xy)^2\ge 2 \left | (x+y)(1-xy) \right |$

$\iff \ \ (1+x^2)(1+y^2)\ge 2 \left | (x+y)(1-xy) \right |$

$\iff \ \ \left|\frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|\leq \frac{1}{2}$