2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2017 г.

Можно ли в клетке таблицы
    а) $5\times 6$ (2 балла)
    б) $6\times 6$ (4 балла)
    вписать числа 1 и $-1$ (в каждую клетку по одному числу) так, чтобы сумма чисел во всех строчках и во всех столбцах были разными?

Комментарий/решение

а) Можно, хотел бы скинуть пример, но сайт не позволяет. Там типа такого:

-1 -1 -1 -1 -1 1

-1 -1 1 1 1 1

-1 -1 -1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 1 1 1 1

б) Нет, ведь сумма в любой строке/столбце четна (легко понять), то есть у нас $12$ пропусков, а возможные суммы: {$-6,-4,-2,0,2,4,6$}, коих $7$,

$7 \geq 12$, противоречие

a) вот так покрасивее, использован {pmatrix}

$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Рахмет

разве суммы чисел в столбах и строках не должны быть разными и отличатся от всех?

если почитать условия нужна не визуальная разность а суммарная.

и также везде разные суммы

что вы имеете в виду? Все условия задачи выполнены - там разные суммы