Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур дистанционного этапа

На парковке стоят машины. Среди них есть машины марок «Тойота», «Хонда», «Шкода», а также машины других марок. Известно, что не «Хонд» в полтора раза больше, чем не красных машин; не «Шкод» в полтора раза больше, чем не желтых машин; наконец, не «Тойот» вдвое меньше, чем красных и желтых машин вместе. Докажите, что «Тойот» не меньше, чем «Хонд» и «Шкод» вместе. ( А. Солынин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть на стоянке всего $C$ машин, среди которых $T$ «Тойот», $H$ «Хонд» и $S$ «Шкод», а также $X$ красных и $Y$ желтых. По условию $C-H = 3(C-X)/2,$ $C-S = 3(C-Y)/2,$ $C-T = (X+Y)/2.$ Сложив два первых равенства, после приведения подобных получаем: $-H-S = С-3(X+Y)/2,$ откуда $H+S = -C+3(C-T) \Leftrightarrow 3T+H+S = 2С.$ Заменив в правой части последнего равенства $C$ на $H+S+T,$ мы не увеличим ее и получим неравенство $3T+H+S \ge 2H+2S+2T \Leftrightarrow T \ge H+S,$ что и требовалось доказать.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Так как красных и жёлтых машин вместе не больше, чем всего машин на стоянке, не «Тойот» на стоянке не больше половины от общего числа машин. Значит, «Тойот» — не меньше половины общего числа машин. Так как «Хонды» и «Шкоды» — явно не «Тойоты», их не больше половины от общего числа машин, откуда и следует утверждение задачи.