Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 9 класс

Пусть точка $O$ — центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник $ABC$. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB,$ $BOC,$ $COA,$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.

Комментарий/решение

) Пусть $O_1, O_2, O_3$ — центры вписанных окружностей треугольников AMB, BMC и AMC. Поскольку радиусы этих окружностей равны, а BM — биссектриса угла ABC, то первая и вторая окружности касаются отрезка BM в одной и той же точке (рис.2). Аналогично для остальных пар окружностей.

Поскольку биссектрисы треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам равностороннего треугольника $O_1O_2O_3$, то точка M — центр треугольника $O_1O_2O_3$. Поэтому, например, $ \angle$BMC = 120°, а т.к. $ \angle$BMC = 90° + $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$A, то $ \angle$A = 60°. Аналогично $ \angle$B = 60°.