Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 9 класс

Можно ли из множества $\{1,2, \ldots ,9,10\}$ выбрать девять различных чисел $a_1,a_2,\ldots ,a_9$ так, чтобы все девять чисел $|a_1 - a_2|,$ $|a_2 - a_3|,$ $\ldots,$ $|a_8 - a_9|,$ $|a_9 - a_1|$ были различными?

Комментарий/решение

Можно

10,1,9,2,8,3,7,4,6,5

10-1=9

1-9=8

9-2=7

2-8=6

8-3=5

3-7=4

7-4=3

4-6=2

6-5=1

Ясно, что любая разность принадлежит множеству $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.$ Заметим, что

$$\sum_{i=1}^{9} |a_i-a_{i+1}|\equiv \sum_{i=1}^{9} a_i-a_{i+1}\equiv 0 \pmod 2,$$

но $1+2+\ldots+9=45\not\equiv 0 \pmod 2,$ откуда следует, что все разности не могут быть различными.