Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK.$ Известно, что центры окружностей — вписанной в треугольник $ABK$ и описанной около треугольника $ABC$ — совпадают. Найдите углы треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Пусть $O$ - центр описанной окружности $\triangle ABC$, так как $OB=OC$:

$\angle KAO=\angle OAB=\angle OBA=\angle OBK=\alpha$

$\angle A=4\alpha$, $\angle B=2\alpha$, $\angle C=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{180-2\alpha}{2}=90-\alpha$

$180=\angle A+\angle B+\angle C= 90+5\alpha=>\alpha=18$

$\angle A=72, \angle B=36, \angle C=72$.