Областная олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс

Для пяти попарно различных натуральных чисел вычислили всевозможные суммы каждых трех из этих чисел. Какое наименьшее число различных сумм могло получиться при этом?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 7.
Решение. Легко заметить, что суммы каких-то двух троек чисел равны тогда и только тогда, когда равны суммы тех пар чисел, которые содержат числа, не вошедшие в рассматриваемые тройки (так как сумма каждой такой пары равна разности всех пяти чисел и суммы соответствующей тройки чисел). Поэтому вместо сумм троек чисел можно рассматривать суммы пар чисел.
   Пусть $a, b, c, d, e $ — данные пять чисел. Не нарушая общности, считаем, что $a < b < c < d < e.$ Всего для данных пяти чисел существует десять различных пар. В то же время, $$a+b < a+c < b+c < b+d < c+d < c+e < d+e,$$ и, следовательно, не менее семи сумм пар чисел будут различны.
   Осталось привести пример пяти чисел, для которых ровно семь сумм пар чисел (а следовательно, и троек чисел) будут различны. Таким примером могут быть числа 1, 3, 5, 7, 9.