қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Лемма 1: Для $\forall N\in\mathbb N$ такого, что $N\equiv 2 \pmod 3$, $\exists p\in\mathbb P$ такое, что $p\mid N$,$p\equiv 2\pmod 3$, и $2\nmid v_p(N)$
Лемма 2:Если $p\mid a^2+ab+b^2$, где $a,b\in\mathbb Z$ , $p\in\mathbb P$ и $p\equiv 2\pmod 3$, то $p\mid a,b$
Решение: Заметим, что $$(a+b+c)^2=(3k+2)(ab+bc+ca)$$ из Леммы 1 $\exists p\in\mathbb P$, $p\equiv 2\pmod 3$, $p\mid 3k+2$ и $2\nmid v_p(3k+2)$, тогда $p\mid a+b+c$ , $p\mid ab+bc+ca$, значит $$ab+bc+ca=ab+c(a+b)\equiv -a^2-ab-b^2\pmod p$$ $$\implies p\mid a^2+ab+b^2$$
откуда из Леммы 2 получаем, что $p\mid a,b\implies p\mid c$, но тогда $$a=pa_1, b=pb_1, c=pc_1$$
подставив в изначальное уравнение получаем, что $$ (a_1+b_1+c_1)^2=(3k+2)(a_1b_1+b_1c_1+c_1a_1)$$
Следовательно $a=b=c=0,$ так как иначе делением на $p$ можно получить не целую тройку (но она должна быть целой всегда).
_s.JPG)
Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:
т.к. правое делится на 3 то $a^2+b^2+c^2\equiv 0 \pmod{3}$ so $a^2,b^,c^2 \equiv 1,0 \pmod{3} $ if its $\equiv 0 \pmod{3}$ we dont have answer because , we can indefinitely reduce this until the moment when $3^2+3^2+3^2=3k(9+9+9)$ and we cannt do this because $x$ is natural,so $a^2,b^2,c^2\equiv 1 \pmod {3}$ единственные варианты где все четные или $2$ нечетных и одно четное но из первого случая должен получиться второй когда $m$ раз делим на $2$ отюда осталось доказать этот вариант пусть $a=2n+1,b=2k+1,c=2x$ $\rightarrow$ $4(n^2+k^2+x^2+n+k+x)+2=(n2+1)(k2+1)+(x2)(n2+1)+(2x)(k2+1)$, $\Rightarrow$ we dont have answer because right side is odd and left is right but we ckecked only natural but $a,b,c $ целые откуда понимаем что $0$ тоже ответ значит единственный ответ $0$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.