Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс


Найдите все тройки целых чисел $(a,b,c)$ и натуральное $k$ такие, что $a^2+b^2+c^2=3k(ab+bc+ca).$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   2
2021-05-07 16:42:26.0 #

Лемма 1: Для $\forall N\in\mathbb N$ такого, что $N\equiv 2 \pmod 3$, $\exists p\in\mathbb P$ такое, что $p\mid N$,$p\equiv 2\pmod 3$, и $2\nmid v_p(N)$

Лемма 2:Если $p\mid a^2+ab+b^2$, где $a,b\in\mathbb Z$ , $p\in\mathbb P$ и $p\equiv 2\pmod 3$, то $p\mid a,b$

Решение: Заметим, что $$(a+b+c)^2=(3k+2)(ab+bc+ca)$$ из Леммы 1 $\exists p\in\mathbb P$, $p\equiv 2\pmod 3$, $p\mid 3k+2$ и $2\nmid v_p(3k+2)$, тогда $p\mid a+b+c$ , $p\mid ab+bc+ca$, значит $$ab+bc+ca=ab+c(a+b)\equiv -a^2-ab-b^2\pmod p$$ $$\implies p\mid a^2+ab+b^2$$

откуда из Леммы 2 получаем, что $p\mid a,b\implies p\mid c$, но тогда $$a=pa_1, b=pb_1, c=pc_1$$

подставив в изначальное уравнение получаем, что $$ (a_1+b_1+c_1)^2=(3k+2)(a_1b_1+b_1c_1+c_1a_1)$$

Следовательно $a=b=c=0,$ так как иначе делением на $p$ можно получить не целую тройку (но она должна быть целой всегда).

пред. Правка 2   0
2021-09-23 20:26:39.0 #

Лемма $2$ не подходит для $p=2$, возьмите за a и b любое четное и нечетное.

P.S: Да, что-то сонный был, не соображал рационально

  0
2021-09-22 13:39:20.0 #

четное+четное*нечетное+нечетное=нечетное, что не делиться на р=2

  0
2021-02-13 18:46:27.0 #

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019