Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Пусть $\mathbb{Q}$ — множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ такие, что для любых $x, y\in\mathbb{Q}$ выполнено равенство $f(x+y)-f(y)=f(f(x-y)+f(y)).$ ( Ильясов С. )

Комментарий/решение

$Ответ$:$f(x)=x,\forall x\in\mathbb{Q}$ или $f(x)=0,\forall x\in\mathbb{Q}$

Пусть $P( x,y )$ обозначает данное уравнение.

Свойтво 1: $f(0)=0$

Доказательство:

$P(0,0):0=f(2f(0))$

$P(2f(0),0):-f(0)=f(f(0))$

$P(f(0),0):-2f(0)=f(0)$, откуда $f(0)=0.\quad\square$

Заметим, что $P(x,0):f(x)=f(f(x))\quad (1)$

По индукции легко доказать, что $$f(nx)=nf(x),\forall n \in\mathbb{N},x \in\mathbb{Q}$$

$\\$

$\\$

Свойство $(2)$ для $\forall x$ верно, что $-f(x)=f(-x)$

Доказательство: Отметим, что $P(x,-x):$ $$-f(-x)=f(f(2x)+f(-x))$$

и $P(x,2x):$ $$f(x)=3f(x)-2f(x)=f(3x)-f(2x)=f(f(-x)+f(2x))$$

Откуда $f(x)=-f(-x).\quad\square$

$\\$

$\\$

Заметим, что $qf(\frac{p}{q})=f(p)=pf(1)$ откуда $$f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}f(1),\forall p,q\in\mathbb{N}\quad (3)$$

Из $(2)$ и $(3)$ получаем,что $$f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb{Q}$$

Постановкой в $P(x,y)$,находим что $f(1)=1$ или $f(1)=0$

Откуда $$f(x)=x,\forall x\in\mathbb{Q}$$ или $$f(x)=0,\forall x\in\mathbb{Q}$$

Когда берете обе стороны $P(x,y)$ в $f$, получается $f(f(x+y)-f(y)) = f(f(f(x-y)+f(y))) = f(f(x-y)+f(y))$, а не то, что получилось у вас, ведь у нас $f(f(x)) = f(x)$ а не $f(f(x)) = x$.

Вот мое решение:

Мы знаем, что $f(0)=0$ и $f(f(x)) = f(x)$ $(1)$.

$P(x, x): 2f(x)=f(2x)$ $(2)$.

Как я уже ранее написал,

$f(f(x+y)-f(y)) = f(f(f(x-y)+f(y))) = f(f(x-y)+f(y)) = f(x+y)-f(y) \implies$

$f(f(x+y)-f(y)) = f(x+y)-f(y)$. Подставим сюда $x-y$ вместо $x$ и получим $f(f(x)-f(y)) = f(x)-f(y)$ $(3)$

$P(x+y, y): f(f(x)+f(y)) = f(x+2y) - f(y)$ $(4)$

Теперь

$P(f(x), f(y)): f(f(x)+f(y)) - f(f(y)) = f(f(f(x)-f(y)) + f(f(y)))$, Используем (1), (3) и (4) $\implies$

$f(x+2y) - 2f(y) = f(f(x)-f(y)+f(y))$, Используем (1) и (2)$\implies$

$f(x+2y) - f(2y) = f(x) \implies$

$f(x+y) = f(x) + f(y)$.

Поскольку $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ получаем $f(x) = cx$. Путем подстановки находим $c=0;1$.

Спасибо. Решение обновлено.

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019

Написанное мною решение неверно