36-я Балканская математическая олимпиада. Кишенёв, Молдова, 2019 год

Пусть $\mathbb{P}$ — множество всех простых чисел. Определите все функции $f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$ такие, что $f{(p)^{f(q)}} + {q^p} = f{(q)^{f(p)}} + {p^q}$ для всех $p, q \in \mathbb{P}$.

Комментарий/решение

Пусть $P(x,y)$ - данное равенство.

$P(2,q)\rightarrow f(2)^{f(q)}+q^2=f(q)^2+2^q$

При $q$ нечётном, получаем, что одно из чисел $f(q)$, $f(2)$ чётно. Предположим, что $f(2)$ - нечётное, тогда $f(p)=2$ для любого простого $p>2$.

$$p,q>2,P(p,q)\rightarrow p^q=q^p$$, что является противоречием.

Значит $f(2)=2$.

$P(2,p)\rightarrow 2^{f(p)}-f(p)^2=2^p-p^2$.

Докажем, что $g(x)=2^x-x^2$ строго возрастает для целых $x\ge3$. По методу математической индукции $2^x>2x+1$, откуда $g(x+1)-g(x)=2^x-2x-1>0$, что требовалось.

Следовательно $f(p)=p$ (ведь из нечётности $p,f(p)\ge3$)