Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год
Комментарий/решение:
$$I. \qquad 1+3+5+...+(2k-1)=k^2, \qquad \forall k \in \mathbb{N}$$
$$II. \qquad \forall a\ne b>0 : \qquad a<b \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$
$$ 1=1^2$$
$$1+3=2^2$$
$$1+3+5=3^2$$
$$1+3+5+...+4019=2010^2$$
$$ S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}$$
$$ II. \qquad \Rightarrow \frac{1}{k(k+1)}<\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}$$
$$ A<S<B$$
$$ A=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2010\cdot2011}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}=1-\frac{1}{2011}=\frac{2010}{2011}$$
$$ B=1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2010\cdot2009}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}=1+1-\frac{1}{2010}=1+\frac{2009}{2010}$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.