Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2019 год

В комнате 40 человек: лжецы которые всегда лгут, и правдивые которые всегда говорят правду. Все 40 человек имеют разный рост. Каждый из них сделал одно из следующих двух заявлении о присутствующих в комнате: «не менее 10 лжецов ниже меня» или «не менее 5 лжецов выше меня». Какое наименьшее число правдивых может находиться в этой комнате?

Комментарий/решение

Предположим, правдивых меньше 25. Тогда лжецов не менее 16. Рассмотрим 11-ого по росту лжеца. Существует 10 лжецов выше него и 5 лжецов ниже него. Тогда он скажет правду. Противоречие.

Пример для 25 правдивых:

Первые 10 по росту - лжецы. Последние 5 - тоже лжецы. Первые 10 скажут 1-ое утверждение, а последние 5 скажут 2-ое утверждение. Все они солгут. А правдивые скажут 1-ое утверждение