XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2019 год


Сүйірбұрышты, теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышының биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $C_1H$ кесіндісінде $K$ нүктесі белгіленген, бұл жерде $CC_1$ — үшбұрыштың биіктігі. $L$ және $M$ нүктелері $K$ нүктесінен сәйкесінше $AC$ және $BC$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары. $AM$ және $BL$ түзулері $N$ нүктесінде қиылысады. $\angle ANK=\angle HNL$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $AC > BC$ и $AA_1$, $BB_1$ — высоты треугольника $ABC$. Так как $\frac{CB_1}{B_1L}=\frac{CH}{HK}=\frac{CA_1}{A_1M}$, то $A_1B_1 \parallel ML$. Четырехугольник $AB_1A_1B$ вписан в окружность с диаметром $AB$. Поэтому из вписанности и параллельности следует $\angle LMC=\angle B_1A_1C=\angle CAB$, то есть и четырехугольник $ALMB$ вписанный. Вписанность этих четырехугольников даёт следующее равенство: $ \angle MAH=\angle MAL-\angle A_1AC=\angle MBL-\angle MBB_1=\angle LBH$. Следовательно, $$\angle NMK=\angle MAH=\angle NBH. \quad (1)$$

Очевидно, что $\triangle ANB \sim \triangle LNM$ и $\triangle ABH \sim \triangle LMK$, так как $\angle ABH=\angle ACH=\angle LMK$ и $\angle BAH=\angle BCH=\angle MLK$. Следовательно, $$\frac{KM}{HB}=\frac{LM}{AB}=\frac{MN}{BN}. \quad (2)$$ Значит, $\triangle KMN \sim \triangle HBN$ (по двум сторонам и углу между ними). Тогда углы углы $ANK$ и $HNL$ равны, так как это внешние углы при соответствующих вершинах в подобных треугольниках.