Бат, Великобритания, 2019 год


Пусть $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ такие, что для любых целых чисел $a$ и $b$ верно равенство $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2020-03-27 16:05:50.0 #

Пусть $P(a;b)$ означает данное равенство и $f(0)=C$.

$P(0;a+b)$ $ f(f(a+b))=2f(a+b)+C$ $(1)$

$P(a;0)$ $ f(2a)+2C=f(f(a))$ $(2)$

$P(0;a)$ $C+2f(a)=f(f(a))$ $(3)$

Сравнение $(2)$ и $(3)$ дает $f(2a)=2f(a)-C$ $(4)$

Применим $(1)$ и $(4)$ к начальному равенству :

$2f(a)+2f(b)-C=2f(a+b)+C$

$f(a)+f(b)=f(a+b)+C$

Пусть $f(a)=g(a)+C$.Получим:

$g(a)+g(b)=g(a+b)$ для целых $a,b.$

Так как $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ ,то и $g:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$

По равенству Коши для ф.-уравнений:

$g(a)=ta$ где $t=g(1)$, значит $f(a)=ta+C$.

Подставим в $P(a;b)$ и получим $t=2$.

Ответ: $f(a)=2a+C$.

$f(a)=0$

пред. Правка 2   2
2020-09-19 06:38:13.0 #

Рассмотрим следующие два равенства :

$P(1,x):\quad f(2)+2f(x)=f(f(x+1))$

$P(0,x+1):\quad f(0)+2f(x+1)=f(f(x+1))$

Откуда получаем, что $f(x+1)-f(x)=\dfrac{f(2)-f(0)}{2}=C$ $-$ константа, $\forall x\in\mathbb Z.$

Поэтому $f(x)=Cx+B$ $-$ линейная функция.(Легко доказать по индукции.) Подставив в условие находим ответ:

$1)f(x)=0,\forall x\in\mathbb Z,$ и

$2)f(x)=2x+B,\forall x\in\mathbb Z,$ для любой целой константы $B.$