6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, вторая лига, 9-10 классы

Дан параллелограмм $ABCD$. Точка $K$ на прямой $AD$ такова, что $BK=AB$. Пусть $P$ — произвольная точка на прямой $AB$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PC$ пересекает описанную окружность треугольника $APD$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что описанная окружность треугольника $ABK$ проходит через ортоцентр треугольника $AXY$.

Комментарий/решение

Пусть $Q=PC \cap (APD)$ и H ортоцентр $\triangle AXY$ и $R$ отражение $H$ относительно $XY$ легко увидеть что $R \in (APD)$. Так как $PC//AR$ и $P$ и $H$ симметричны $C$ и $R$ соответственно относительно $XY$ то $APQR$ и $PHRC$ и равнобокие трапеции отсюда: $AQ=PR=HC$ . Легко увидеть что $AQCH$-параллелограмм. Легко увидеть что $\triangle ABH=\triangle CDQ$ и $APQD$-вписанный отсюда получаем:$\angle AHB=\angle CQD=\angle PAD=\angle BKA$