6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, третья лига, 11-12 классы

Верно ли, что в любом выпуклом $n$-угольнике, $n>3$, существует вершина и выходящая из неё диагональ такие, что диагональ образует острые углы с обеими сторонами, выходящими из этой вершины?

Комментарий/решение

Ответ - $Да$. Вот подробности:

Обозначим боковой треугольник как треугольник, который имеет общую вершину с многоугольником и у которого хотя бы одна сторона совпадает с многоугольником.

$Утверждение$ ${1}$: Предположим, что сам многоугольник имеет острый внутренний угол. Тогда многоугольник однозначно удовлетворяет условию задачи.

$Д-во$: Возьмите ту конкретную вершину, которая имеет острый внутренний угол. Для этого подойдет любая диагональ, так как она четко делит острый угол на два острых угла.

$Утверждение$ ${2}$: $n \ge 5$.

$Д-во$: Это явно следует из того, что из $Утверждение$ ${1}$: случай $n = 4$ сходится к случаю, когда это прямоугольник. Но это явно удовлетворяет условию задачи, так как любой прямой угол должен делиться на два острых угла.

Для $Утверждение$ ${3}$ и далее обозначайте прямой угол и тупой как одну и ту же группу: тупой сам по себе.

$Утверждение$ ${3}$: Все многоугольники с существующей острой стороной треугольника удовлетворяют.

$Д-во$: Пусть сам многоугольник будет $A_1A_2A_3 \dots A_n$. Предположим, что существует треугольник с острой стороной, $БОО$ пусть это будет $A_1 A_2 A_i$.

Поэтому, рассматривая диагональ $A_2A_i$ и вершину $A_2$, это дает нам что. $\angle A_i A_2 A_3$ должен быть тупым

Продолжая далее, мы имеем, что $\angle A_i A_n A_{n+1}$ должен быть тупым для всех $n \in \mathbb{N}$.

Тем временем, это дает нам $\angle A_iA_{i - 2}A_{i - 1}$ тупой.

Аналогично, делая это и с другой стороны: Рассматривая диагональ $A_1A_i$ и вершину $A_1$, это дает нам что. $\angle A_n A_1 A_i$ должен быть тупым.

Это дает нам что. $\angle A_nA_{n+1} A_i$ должен быть тупым для всех $n \in \mathbb{N}$.

Таким образом, у нас будет $\angle A_{i + 1} A_{i + 2}A_i$ должен быть тупым.

Теперь обратите внимание, что из двух вышеприведенных фактов следует, что $\angle A_{i + 2}A_{i + 1}A_i$ должен быть острым. По $Утверждение$ ${1}$ следовательно, мы закончили.

$Утверждение$ ${4}$: Все многоугольники удовлетворяют

$Д-во$:Из предыдущего утверждения , Таким образом, мы имеем дело со случаем, когда острых треугольников не осталось. В этом случае все боковые треугольники были тупыми.

Теперь обратите внимание, что аналогичным методом, как в $Утверждение$ ${3}$, в дальнейшем можно сделать угол многоугольника острым, и на этом задача будет решена.