3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур, 2019 г.

Докажите, что число $11\ldots 122 \ldots 25$ является полным квадратом (в этом числе 2019 единиц и 2020 двоек).

Комментарий/решение

$11 \cdots 122 \cdots 25$ = $11 \cdots 1$ * $10^{2021}$ + $2$ * $11 \cdots 1$ * $10^2$ + $25$ = $\dfrac{99 \cdots 9 * 10^{2021} + 2 * 99 \cdots 9 * 10^2 + 225}{9}$ = $\dfrac{99 \cdots 9 * 10^{2021} + 10^{2021} - 10^{2021} + 2 * 99 \cdots 9 * 10^2 + 200 - 200 + 225 }{9}$ = $\dfrac{10^{4040} - 10^{2021} + 2 * 10^{2021}+25}{9}$ = $\dfrac{10^{4040} + 10^{2021} + 25}{9}$ = $\dfrac{10^{4040} + 2 * 5 * 10^{2020} + 25}{9}$ = $\dfrac{(10^{2020} + 5)^2}{9}$ = $($\dfrac{10^{2020} + 5}{3}$)^2$ #

Число делится на 3 потому что я изначально его умножил на 9 и поделил на 9 и каждым действием просто прибавлял 0

$11 \cdots 122 \cdots 25$ = $11 \cdots 1$ * $10^{2021}$ + $2$ * $11 \cdots 1$ * $10^2$ + $25$ = $\dfrac{99 \cdots 9 * 10^{2021} + 2 * 99 \cdots 9 * 10^2 + 225}{9}$ = $\dfrac{99 \cdots 9 * 10^{2021} + 10^{2021} - 10^{2021} + 2 * 99 \cdots 9 * 10^2 + 200 - 200 + 225 }{9}$ = $\dfrac{10^{4040} - 10^{2021} + 2 * 10^{2021}+25}{9}$ = $\dfrac{10^{4040} + 10^{2021} + 25}{9}$ = $\dfrac{10^{4040} + 2 * 5 * 10^{2020} + 25}{9}$ = $\dfrac{(10^{2020} + 5)^2}{9}$ = $(\dfrac{10^{2020} + 5}{3})^2$ #

Число делится на 3 потому что я изначально его умножил на 9 и поделил на 9 и каждым действием просто прибавлял 0