Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс

На олимпиаде «Шелковый Путь», где участвовали 100 школьников, были предложены четыре задачи. 1-ю задачу решили 90 школьников, 2-ю — 80, 3-ю — 70, а 4-ю — всего 60 школьников. Никто не решил все четыре задачи. Сколько школьников решили ровно по три задачи? Ответ обосновать.

Комментарий/решение

Всего решенных задач= 90+80+70+60=300 из 400 возможных

Если все 100 школьников решили по 3 задачи, то в сумме выходит как раз 300 задач.

Допустим, не все решили 3 задачи, значит, они решили МЕНЬШЕ 3 задач, т.к. все 4 никто не решил. Значит, суммарное количество решенных задач уменьшится, т.е. будет меньше 300, чего не может быть, следовательно, все решили по 3 задачи.

Ответ: 100 школьников.

まず、包含と除外の原理を使用します。\( A_i \)を、学生が正確に\( i \)問を解いたことを示すイベントとします。それぞれの\( i \)について、\( n(A_i) \)を正確に\( i \)問を解いた学生の数とします。

まず、少なくとも1つの問題を解いた学生の総数を見つけましょう。条件によれば、1番目の問題を90人が解き、2番目の問題を80人が解き、3番目の問題を70人が解き、4番目の問題を60人が解きました。そのような学生の総数は次のようになります：

\[ n(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) = 90 + 80 + 70 + 60 = 300 \]

次に、少なくとも2つの問題を解いた学生の数を計算します：

\[ n(A_2 \cup A_3 \cup A_4) = n(A_2) + n(A_3) + n(A_4) - n(A_2 \cap A_3) - n(A_2 \cap A_4) - n(A_3 \cap A_4) + n(A_2 \cap A_3 \cap A_4) \]

既知の値を代入すると：

\[ n(A_2 \cup A_3 \cup A_4) = 80 + 70 + 60 - n(A_2 \cap A_3) - n(A_2 \cap A_4) - n(A_3 \cap A_4) + n(A_2 \cap A_3 \cap A_4) \]

次に、少なくとも3つの問題を解いた学生の数を見つけます：

\[ n(A_3 \cup A_4) = n(A_3) + n(A_4) - n(A_3 \cap A_4) \]

既知の値を代入すると：

\[ n(A_3 \cup A_4) = 70 + 60 - n(A_3 \cap A_4) \]

これらの値を代入します：

\[ n(A_2 \cup A_3 \cup A_4) = 80 + 70 + 60 - n(A_2 \cap A_3) - n(A_2 \cap A_4) - n(A_3 \cap A_4) + n(A_2 \cap A_3 \cap A_4) \]

\[ n(A_2 \cup A_3 \cup A_4) = 210 - n(A_2 \cap A_3) - n(A_2 \cap A_4) - n(A_3 \cap A_4) + n(A_2 \cap A_3 \cap A_4) \]

今度は、\( n(A_2 \cap A_3) \)、\( n(A_2 \cap A_4) \)、\( n(A_3 \cap A_4) \)、\( n(A_2 \cap A_3 \cap A_4) \)を見つける必要があります。

条件からわかるように、誰も全ての4つの問題を解いていないため、\( n(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) = 0 \) です。

また、誰かが正確に3つの問題を解いた場合、彼らは最初の問題を解くことはできませんので、\( n(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0 \) です。 そしてその逆も同様です。

さて、正確に3つの問題を解いた学生の数を見つけることができます：

\[ n(A_2 \cap A_3 \cap A_4) = n(A_2 \cup A_3 \cup A_4) - n(A_2) - n(A_3) - n(A_4) + n(A_1) \]

既知の値を代入します：

\[ n(A_2 \cap A_3 \cap A_4) = 210 - 80 - 70 - 60 + 90 = 190 \]

したがって、正確に3つの問題を解いた学生は190人です。

решил раскрыть свои способности

すべては私の計画通り

Bro chill это просто районка ☠︎︎

自分の器用さを隠す方法を知っている人が本当に器用である

Узник гугл переводчика

Это все круто, но где мой товар который я заказывал на пиндуодо?

Ayanogoat

эмз только у него есть телефон