Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 10 класс

$H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC,$ точки $D$ и $E$ — основания высот, проведенных соответственно из вершин $B$ и $C$. Окружность с диаметром $DE$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ еще раз соответственно в точках $F$ и $G.$ Отрезки $FG$ и $AH$ пересекаются в точке $K.$ Если $BC = 25,$ $BD = 20$ и $BE = 7,$ то найдите длину отрезка $AK.$

Комментарий/решение

Задача классная, мне понравилось, что решается простыми теоремами

Ответ: $AK = 8.64$

Решение

1) $\Delta BEC-$ прямоугольный, так как $CE-$ высота $\Delta ABC$. По теореме Пифагора

$$EC=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24$$

2) $\Delta BDC-$ прямоугольный, так как $BD-$ высота $\Delta ABC$. По теореме Пифагора

$$DC=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15$$

3) $\Delta EHB$ подобен $\Delta DHC$ по трем углам

Ведь $\angle EHB = \angle DHC$ как вертикальные

$\angle BEH = \angle HDC = 90^\circ$

$\angle EBH = 180^\circ - (\angle BEH + \angle EHB)$

$\angle HCD = 180^\circ - (\angle HDC + \angle DHC)\rightarrow \angle HCD = \angle EBH$

4) Из подобия $\Delta EHB\; \infty\; \Delta DHC$ имеем

$$\dfrac{EH}{DH} = \dfrac{EB}{DC} = \dfrac{BH}{CH}$$

5) $EB = 7$ (по условию) ; $DC = 15\;\;[см.\;пункт\;3]$

Обозначим $EH = x;BH = y$, тогда

$CH = EC - EH = 24 - x;\; DH = BD - BH = 20 - y$

6) Из $[4]$ и $[5]$ получаем уравнения

$$\dfrac{x}{20 - y} = \dfrac{7}{15};\;\;\dfrac{7}{15} = \dfrac{y}{24 - x}$$

Решим совместно эти уравнения. Получим $x = 5.25;\;y=8.75$

7) Из $[6]$ : $EH = 5.25;\;\;BH = 8.75;$

$CH = 24 - 5.25 = 18.75;\;\;DH = 20 - 8.75 = 11.25$

8) $\dfrac{AE}{EC} = \tan \angle ECA = \dfrac{DH}{DC}$

$$AE = \dfrac{EC\cdot DH}{DC} = \dfrac{24\cdot 11.25}{15} = 18$$

9) $AB = AE + BE = 18 + 7 = 25 = BC\Rightarrow\Delta ABC - $ равнобедренный

10) По теореме Пифагора

$$AD = \sqrt{AB^2-BD^2}= \sqrt{25^2-20^2}=15$$

11) По теореме косинусов:

$$ED^2 = AD^2 + AE^2 - 2\cdot AD\cdot AE \cdot \cos\angle EAD$$

$$\cos\angle EAD = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{18}{30}$$

$$ED^2 = 15^2 + 18^2 - 2\cdot 18\cdot 15 \cdot \dfrac{18}{30} = 15^2\rightarrow ED = 15$$

12) $\angle EFD = \angle EGD = \dfrac{\overset\frown{ED}}{2} = \dfrac{180^\circ}{2}$ (прямые углы как опирающиеся на диаметр)

13) Из $[11]\;\;: ED = 15$; Из $[10]\;\;: AD = 15\rightarrow\Delta EAD - $ равнобедренный

14) $AF = FE = 9$. Ведь $\angle EFD-$ прямой $[12]$, то есть $DF-$ высота для $\Delta EAD$, а он равнобедренный $[13]$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой.

15) $\Delta AGE\;\infty\;\Delta ADB$ (по трем углам). Из подобия треугольников:

$$\dfrac{AG}{AE} = \dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AG = \dfrac{AE\cdot AD}{AB} = \dfrac{18\cdot 15}{25} = 10.8$$

16) Покажем подобие $\Delta FAG$ и $\Delta BAC$.

$$\dfrac{AF}{AG} = \dfrac{9}{10.8} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{25}{30} = 0.8(3)\Rightarrow \Delta FAG\;\infty\;\Delta BAC$$

17) Из $[16]:\;\angle FGA = \angle BCA$

18) Из $[21]:\;FG\parallel BC$, так как равны соответственные углы

19) Делаем вывод, что $AK\bot FG$.

Действительно, с одной стороны $AK\bot BC$,так как $AK-$ высота $\Delta ABC$.

С другой стороны $FG\parallel BC\Rightarrow AK\bot FG$ и $AK-$ высота $\Delta AFG$

20) Выразим $AK$ через площадь

$$2\cdot S_{\Delta AFG} = FG\cdot AK = AF\cdot AG\cdot \sin\angle FAG$$

$$AK = \dfrac{AF\cdot AG\cdot \sin\angle FAG}{FG}$$

21) $\sin\angle FAG = \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{20}{25} = 0.8$

22) $\dfrac{FG}{BC} = \dfrac{AF}{AB}$

$$FG = \dfrac{BC\cdot AF}{AB} = \dfrac{25\cdot 9}{25} = 9$$

23) $AK = \dfrac{9\cdot 10.8\cdot 0.8}{9} = 8.64$

очень простые теории, однако

АХХААХАХАХХААХАХА

Что я заметил сидя на матоле годами, то что время (когда было оставлен комментарий) не показывается правильно в некоторых случаях. Например, когда прошло более часа, но не прошел 1 день. В этот период время показывает только правильно время часов, а минуты не правильно, там просто ставится время часов. Например, 1 час 1 минута, 11 часов 11 минута. Это наверное потому что перепутали время часов и минут когда создавался сайт.

да не, это недавний баг. и че ты не спишь?