Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, III тур дистанционного этапа

Учитель написал на доске 10 отрицательных целых чисел. Вася переписал в тетрадь эти числа, затем записал туда же всевозможные их попарные произведения, всевозможные произведения трёх, четырёх, $\ldots,$ девяти из этих чисел и, наконец, произведение всех десяти чисел. Оказалось, что сумма всех записанных Васей чисел отрицательна. Чему она могла быть равна? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $-1.$
Решение. Пусть на доске написаны числа $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{10}.$ Положим $A = (1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a-{10}).$ По условию все 10 сомножителей в правой части неположительны. Поэтому $A \ge 0.$ Заметим теперь, что, раскрыв все скобки в правой части, мы получим как раз сумму всех записанных Васей чисел, увеличенную на 1. Значит, сумма всех записанных Васей чисел не меньше, чем $-1,$ а так как она по условию отрицательна, то она равна $-1.$