Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс

Найдите все пары простых чисел $(q,r)$, для которых выполнено равенство $q(q^2-q-1)=r(2r+3).$

Комментарий/решение

$Ответ:(13;31).$

Заметим что если $q$ делится на $r$(или $r$ делится на $q$), тогда $q=r$. Но тогда $q^2-q-1=2q+3$, но оно не имеет простых делителей.

Теперь будем считать что $q$ не делится на $r$. Тогда $2r+3$ делится на $q$, $2r+3=qk$ и $q^2-q-1=rk$(где $k$ натуральное число). Из чего выходит что $2q^2-2q-2=(qk-3)k$ Или $2q^2-(2+k^2)+3k-2=0$. Теперь рассмотрим это квадратное уравнение через $q$. И заметим дискриминант должен быть полным квадратом (в ином случае, это уравнение будет иметь только иррациональные решения). $D=(k^2+2)^2-24k+16.$ Теперь рассмотрим 6 случая:

$k=1,D=1,q=\dfrac{3 \pm 1}{4}, $не имеет простых решений;

$k=2,D=4,q=2,$ но $r$ не простое число;

$k=3,D=65$;

$k=4,D=244$

$k=5,D=625,q=13,r=31$

$k>5$, выполняется следующее неравенство:

$(k^2+2)^2>D=(k^2+2)^2-24k+16>k^4$ $(1)$

Левое неравенство очевидно, а левое эквивалентна $4(k-5)(k-1)>0$. По неравенству $(1)$, дискриминант лежит между двумя квадратами разность которых равна 2. Значит $D=(k^2+2)^2-24k+16=(k^2+1)^2$, это эквивалентна $2k^2-24k+16=0$, очевидно что это неравенство не имеет решений.