16-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2020 год

Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность. Докажите неравенство $AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF\geq 27 AB\cdot BC\cdot CD\cdot DE\cdot EF\cdot FA.$ ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Положим $$d_1=AB\cdot BC\cdot CD\cdot DE\cdot EF\cdot FA, d_2=AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF, d_3=AD\cdot BE\cdot CF.$$ Применяя теорему Птолемея к четырёхугольникам $ABCD$, $BCDE$, $CDEF$, $DEFA$, $EFAB$, $FABC$, получим шесть равенств $AC\cdot BD-AB\cdot CD=BC\cdot AD$, $\ldots,$ $FB\cdot AC-FA\cdot BC=AB\cdot FC$. Подставляя эти равенства в известное неравенство $$\root 6\of{(a_1-b_1)(a_2-b_2)\cdot\dots\cdot (a_6-b_6)}\leq \root 6\of{a_1a_2\dots a_6}-\root 6\of{b_1b_2\dots b_6} \ \ (a_i\geq b_i>0, i=1, \dots, 6),$$ получим $$\root 3\of {d_3}\root 6\of d_1\leq \root 3\of {d_2}-\root 3\of {d_1}.\eqno(1)$$ Применяя теорему Птолемея к четырёхугольникам $ACDF$, $ABDE$ и $BCEF$, получим три равенства $AD\cdot CF=AC\cdot DF+AF\cdot CD$, $AD\cdot BE=BD\cdot AE+AB\cdot DE$, $BE\cdot CF=BF\cdot CE+BC\cdot EF$. Подставляя эти равенства в известное неравенство $$\root 3\of{(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)}\geq \root 3\of{a_1a_2a_3}+ \root 3\of{b_1b_2b_3} \ \ (a_i>0, b_i>0, i=1, 2, 3),$$ получим $$\root 3\of {d_3^2}\geq \root 3\of {d_2}+\root 3\of {d_1}.\eqno(2)$$ Из неравенств (1) и (2) следует, что $(\root 3\of {d_2}-\root 3\of {d_1})^2\geq \root 3\of {d_1}(\root 3\of {d_2}+\root 3\of {d_1})$, то есть $\root 3\of {d_2}\geq 3\root 3\of {d_1}$ и $d_2\geq 27d_1$, ч. и т.д.

Факт. Пусть $A_{1}$ и $B_{1}$ - образы точек $A$ и $B$ при инверсии с центром $O$ и радиусом $R$. Тогда $A_{1} B_{1} = AB * \dfrac{R^2}{OA * OB}$

Используем инверсию с центром $A$ и радиусом $R$. Используя Факт заменим все и сократим.

Получим

$$ B_{1}D_{1} *C_{1} E_{1} * D_{1} F_{1} *B_{1} F_{1} \geq 27 B_{1} C_{1} * C_{1} D_{1} *D_{1} E_{1} * E_{1} F_{1}$$

Где $B_{1} , C_{1} , D_{1} ,E_{1} ,F_{1}$ лежат на одной прямой.

То есть, надо доказать

$$(a+b)(b+c)(c+d)(a+b+c+d) \geq 27abcd$$

Что верно по неравенству AM-GM, в котором вместо $a$ запишем $a/2+a/2$ и вместо $d$ запишем $d/2+d/2$.

Доказательство "известного" неравенства

По неравенству Гельдера $p=6$

$\sqrt[6]{(a_{1}-b_{1})(a_{2}-b_{2}) \cdot \cdot \cdot \cdot (a_{6}-b_{6})} + \sqrt[6]{b_{1}b_{2} \cdot \cdot \cdot \cdot b_{n}} \leq \sqrt[6]{(\sqrt[6]{(a_{1}-b_{1})^6}+\sqrt[6]{b_{1}^6}) \cdot (\sqrt[6]{(a_{2}-b_{2})^6}+\sqrt[6]{b_{2}^6}) \cdot \cdot \cdot \cdot (\sqrt[6]{(a_{6}-b_{6})^6}+\sqrt[6]{b_{6}^6}) } = \sqrt[6]{a_{1}a_{2} \cdot \cdot \cdot \cdot a_{6}} $

Аналогично и для второго