Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур регионального этапа

Точка $N$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC,$ в котором $\angle ACB = 60^\circ$. Точка $M$ на стороне $AC$ такова, что $AM = BN.$ Точка $K$ — середина отрезка $BM.$ Докажите, что $AK = KC.$ ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Достроим треугольник $MCN$ до параллелограмма $NCML.$ В треугольнике $AML$ $LM = NC = BN = AM,$ $\angle AML = \angle BCM = 60^\circ.$ Следовательно, треугольник $AML$ — равносторонний. Отсюда $AL = NC$ и $\angle ALK = \angle ALM+\angle NLM = 60^\circ+60^\circ = 120^\circ = \angle KNC.$ Кроме того, отрезок $LM$ параллелен и равен отрезку $BN,$ так что $BNML$ — параллелограмм, а $K$ — точка пересечения его диагоналей, откуда $LK = KN.$ Значит, треугольники $ALK$ и $CNK$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда $AK = KC.$

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Достроим треугольник $AMB$ до параллелограмма $AMTB;$ тогда $K$ — точка пересечения его диагоналей. Из параллельности имеем $\angle CBT = \angle BCA = 60^\circ;$ кроме того, $BT = AM = BC/2.$ Значит, треугольник $BTC$ — прямоугольный с прямым углом $T,$ то есть $TC \perp BT \parallel BC.$ Поэтому и треугольник $ACT$ тоже прямоугольный, и его медиана $CK$ равна половине гипотенузы, то есть равна $AK.$

Пусть $H$ основание высоты из вершины $B$ тогда $CH$=$BC/2$=$AM$ и $MK$=$HK$ отсюда легко увидеть $\triangle AHK=\triangle CMK$ значит $AK$=$KC$