Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур регионального этапа

На доске написано $n$ целых чисел, любые два из которых отличаются хотя бы на 3. Сумма квадратов двух наибольших из них меньше 500. Сумма квадратов двух наименьших из них также меньше 500. При каком наибольшем $n$ это возможно? ( Р. Женодаров, С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. При $n = 12.$
Решение. Оценка. Рассмотрим второе по величине число. Если оно не меньше 15, то самое большое число не меньше 18, и сумма квадратов двух наибольших чисел не меньше, чем $15^2+18^2 = 549 > 500,$ что невозможно. Поэтому второе по величине число не превосходит 14. Аналогично второе с конца число не меньше, чем $-14.$ Таким образом, все искомые числа, кроме, может быть, наибольшего и наименьшего, не больше 14 и не меньше $-14.$ Так как $14-(-14) = 28 < 3\cdot 10,$ написанные на доске числа разбивают отрезок числовой оси между $-14$ и 14 не более чем на 9 частей, то есть всего между $-14$ и $14$ не более 8 наших чисел. Так как это все наши числа, кроме, может быть, двух наибольших и двух наименьших, всего на доске написано не более 12 чисел. Пример. $-17,$ $-14,$ $-11,$ $-8,$ $-5,$ $-2,$ 2, 5, 8, 11, 14, 17.