Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 8 класс

Найдите все натуральные числа, делящиеся на 5 и на 9, имеющие ровно 10 делителей (включая единицу и само число).

Комментарий/решение

Пусть $a$ - искомое число, тогда $a=3^2 \cdot 5^1$ и число делителей равно $(2+1)(1+1)=6$.

Положим $a=3^2 \cdot 5^1 \cdot p^1$, тогда число делитей равно $(2+1)(1+1)(1+1)=12$, значит число $a$ не имеет простых делителей кроме 3 и 5.

Положим $a=3^{2+x}\cdot 5^{1+y}$, тогда имеем:

$(2+x+1)(1+y+1)=10$

$(x+3)(y+2)=2\cdot 5$

$x=2$ и $y=0$.

Значит, искомое число $3^4 \cdot 5^1 = 405$, делителями которого являются $\{1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 81, 135, 405\}$.

Не могли бы вы объяснить , как вы нашли количество делителей у $a$?

У числа $3^2$ три множителя :$9,3,1$

У числа $5$ два множителя :$1,5$

У произведения этих чисел множителей $2\cdot 3=6$ делителей

Благодарю