37-я Балканская математическая олимпиада. Румыния, 2020 год


Пусть $ABC$ является остроугольным треугольником, у которого $AB=AC$, пусть $D$ является серединой стороны $AC$, и пусть $\gamma $ является описанной окружностью треугольника $ABD$. Касательная к $\gamma $ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $E$. Пусть $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABE$. Докажите, что середина отрезка $AO$ лежит на окружности $\gamma $.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2021-05-10 08:55:24.0 #

$\Delta BAD \sim \Delta AEC \Rightarrow BC=CE$

углами можно получить $ \angle OAE = 90-\angle ABC= \angle ADM$ где $M = \gamma \cap AO$

и, $\angle ACO= 90 - \angle ABC$ откуда получим что $ DM \parallel CO$ поэтому $DM$ середина что и завершает доказательство