Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 9 класс

На стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ так, что $AP : BP = 2:1.$ Известно, что $AC = CP = 1,$ $\angle BCP = 15^\circ.$ Найдите длину стороны $BC$.

Комментарий/решение

Можно свести задачу к такой, имеется прямоугольный треугольник $BLC$ где $\angle BLC = 90^{\circ}$ также $CP=1$ - медиана и $\angle BPC = 15^{\circ}$ найти $BC$, если положить что $BL=2x$ тогда $y=BC=\sqrt{3x^2+1}$ или $y=\sqrt{\dfrac{y^2-1}{3}}$ и так как $\cos(15^{\circ}) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$ (понижения угла) по теореме косинусов для $CPB$ получается уравнение $4y^2-3(\sqrt{2}+\sqrt{6})y+8=0 $ откуда $BC=y = \dfrac{3(\sqrt{2}+\sqrt{6})-2\sqrt{9 \sqrt{3}-14}}{8}$

гениально

№2 – есеп. Сүйір бұрышты АВС үшбұрышының АВ қабырғасының бойынан

АР : ВР = 2 : 1 болатындай Р нүктесі берілген . АС = СР = 1 және

∠ ВСР= 15° екені белгілі . ВС қабырғасының ұзындығын тап.

Шешуі: С төбесінен СК⊥ АВ түсіреміз. Егер АР = 2х болса, онда ВР = х, ендеше СР С төбесінен жүргізілген ВКС үшбұрышының медианасы. СК = √(1-х^2 ) ВС= √(3х^2+1), 3х - 1< ВС< 3х + 1, 3х - 1> 0

1 -х^2>0⟹1/3< х<1, 1/9 <х^2 <1

СР медиана болғандықтан S_∆ВРС = 1/2 S_∆ВКС, sin15° = (√3-1)/(2√2) осыдан,

(x √(1-x^2 ))/2 = ((√3-1) √(〖3x〗^2+1))/(4√2) немесе 〖4x〗^4+(2-3√3 )x^2+2- √3=0

Бұдан , x^2= (√(4√3-1)+3√3-2)/8. 1/9 <х^2 <1 шарты орындалады

Жауабы: ВС =√(3(√(4√3-1)+3√3-2)/8+1)