Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Алпамыс выписал в тетради семь натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_7$ и выписал на доске числа $a_i\cdot a_j$, $a_i +a_j$, $|a_i - a_j|$ для всех $i\neq j$. Найдите наибольшее возможное количество различных нечетных чисел на доске.

Комментарий/решение

$Ответ:30$ нечетных чисел

Сразу удалим четные числа на доске. Рассмотрим $6$ чисел, где $k$ из которых четные, а $6-k$ - нечетные, добавим седьмое число и найдем наибольшее число нечетных чисел на доске. Пусть $f(a_i, a_j)=$ количество выписанных чисел для $a_i$ и $a_j$, тогда $f(чет, чет)=0, f(чет, нечет)=2, f(нечет, нечет)=1$

Есть два случая:

$1) k>2$, пусть $S=$ количество выписанных нечетных чисел на доске, рассмотрим насколько изменяется $S$. Если добавленное $7$-ое число четно, тогда $S_7=S_6+0 \cdot k +2\cdot(6-k)=S_6+12-2k$, если добавленное число нечетно, тогда $S_7=S_6+2 \cdot k+1 \cdot (6-k)=S_6+6+k.$ $$S_6+12-2k < S_6+6+k,$$ поэтому добавлять нечетное число будет эффективнее. Перебирая варианты $k=3,4,5,6$ получаем, что

$1) k=3,$ 3 четных и 3 нечетных, $S_6=6+6+6+2+1=21, S_7=21+6+3=30;$

$2) k=4,$ 4 четных и 2 нечетных, $S_6=4+4+4+4+1=17, S_7=17+6+4=27;$

$3) k=5,$ 5 четных и 1 нечетное, $S_6=2+2+2+2+2=10, S_7=10+6+5=21;$

$4) k=6$, $S_6=0, S_7=0+6+6=12;$

$max(S_7)=30$

$2) k \leq 2$, тогда выгодно брать четное число.

$1) k=2,$ 2 четных и 4 нечетных, $S_6=8+8+3+2+1=22, S_7=22+12-4=30;$

$2) k=1,$ 1 четное и 5 нечетных, $S_6=10+4+3+2+1=20, S_7=20+12-2=30;$

$3)k=0,$ 0 четных и 6 нечетных, $S_6=5+4+3+2+1=15, S_7=15+12-0=27.$

Пример для $30$ $(k=1)$: $a_1=1, a_2=7, a_3=31, a_4=127, a_5=511, a_6=2020, a_7=6060.$

Вот другая оценка что максимум $30$ через неравенство:

Пусть $k$ число нечетных чисел из семи. То $S=2k(7-k)+\dfrac{k(k-1)}{2}$, так как $k(7-k)$ число пар $(чётное,нечётное)$, а $\dfrac{k(k-1)}{2}$ число пар $(нечётное,нечётное)$

$S=\dfrac{27k-3k^2}{2}=\dfrac{243-12(k-4,5)^2}{8} \leq \dfrac{243-12*0,5^2}{8}=30$

Для тех кто не понял почему последнее неравенство AbenSad-а верно:

Рассмотрим параболу $\dfrac{-3}{2} k^2+ \dfrac{27}{2}k$. Ее максимальная точка равна при $k=\dfrac{-\dfrac{27}{2}}{2 \cdot \dfrac{-3}{2}}=4,5$, при которой $S=30.375,$ но $S \in Z, \Rightarrow S \leq 30$

ты что-то замудрил, просто используем то что $k$ натуральное, и нам нужно найти минимальное значение $(k-4.5)^2$, что очевидно будет $0.5^2$

интересные решения

я просто из тех, кто не понял неравенство, но теперь понял, спс

как ты не понимаешь это, но берёшь серебро на респе(как минимум должно было, просто почему-то в последнее время только 40% или меньше дают места на респе, жауте. А должны 45-50%)

я такой типа: так, то есть должно быть $(k-4.5)^2 \geq 0.5^2$, то есть $k-4.5 \geq 0.5$, почему??????

и да, по идее справедливо, что не дали серебро, 2 полных задач нет, + мотивация чалить лучше)

бро в прошлом году вообще давали на 30%..

Пророчествующий комент

Мне кажется или мое решение не отображается на "Последние обсуждения"? Попробую отредактировать

Изменено: не работает

Кажется отображалось. Я же как-то увидел.

когда пост кто-то публикует (решение) оно моментально отображается. но когда кто-то комментирует это решение, показывается уже аккаунт комментатора вместо автора решения.

например после этого сообщения будет отображаться мой никнейм.

И ещё один нюанс кто последним прокомментирует или обновит пост, то его имя будет отображаться на главной странице сайта.

понял, принял