Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

Найдите все пары целых чисел $(x, y)$, для которых справедливо уравнение $xy^2 + xy + x^2 - 2y - 1 = 0.$

Комментарий/решение

Чтобы решить это уравнение, достаточно записать его как квадратное относительно $y$ . Получим $$xy^2+(x-2)y+x^2-1=0$$. По теореме Виета сумма корней равна $\dfrac{x-2}{x} =1-\dfrac{2}{x}$, а произведение корней равно $\dfrac{x^2-1}{x}=x-\dfrac{1}{x} $, из чего $x$ может быть равным лишь 1 и -1. При $x=1$ получим $y^2-y=0$, то есть $y=0 ,y=1$. При $x=-1$ получим $-y^2-3y=0$, то есть $y=0, y=-3$

А как быть с ответом $(−5,−3)$? Ошибка в применении теоремы Виета в том, что один из корней $y_1$ может быть целым, а другой $y_2$ нет. Поэтому их сумма, также как их произведение, не всегда целое.

Если решение не будет исправлено, то оно автоматический удалится через некоторое время, если модератор не подтвердит решение.