Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур дистанционного этапа

$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB = BC).$ $HK$ — высота треугольника $AHB.$ Оказалось, что $4HK = AB.$ Чему могла быть равна градусная мера угла $ABC?$ Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $15^\circ,$ $75^\circ,$ $105^\circ,$ $165^\circ.$
Решение. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB.$ Тогда $HM = AB/2 = 2HK,$ поэтому $\angle HMK = 30^\circ.$ Разберем возможные случаи.
   Пусть угол $B$ острый. Если точка $M$ лежит на отрезке $KA,$ то в равнобедренном треугольнике $HMB$ угол при вершине $M$ равен $30^\circ,$ значит, при основании $\angle B = 75^\circ.$ Если же точка $M$ лежит на отрезке $KB,$ то в равнобедренном треугольнике $HMB$ угол при вершине $M$ равен $150^\circ,$ значит, $\angle B = 15^\circ.$
   Пусть угол $B$ тупой. Если точка $M$ лежит на отрезке $KA,$ в равнобедренном треугольнике $HMB$ угол при вершине $M$ равен $30^\circ,$ значит, угол при основании равен $75^\circ,$ а смежный с ним угол $B$ равен $105^\circ.$ Если же точка $M$ лежит на отрезке $KB,$ то в равнобедренном треугольнике $HMB$ угол при вершине $M$ равен $150^\circ,$ значит, угол при основании равен $15^\circ,$ а тогда смежный с ним угол $B$ равен $165^\circ.$