Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур дистанционного этапа

У Васи есть 20 гирь, среди которых нет трёх, равных по весу. Он может разложить эти все гири как на 10, так и на 11 куч с равными весами. Докажите, что у Васи найдутся две гири, веса которых различаются ровно в 4 раза. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть все гири вместе весят 110 условных единиц. Если гири разложены на 11 куч с равными весами, то хотя бы в двух кучах лежит по одной гире — иначе гирь было бы не меньше, чем $2\cdot 10+1 = 21.$ Очевидно, эти гири весят по 10, и они — самые тяжелые. Поскольку трёх гирь одинакового веса по условию нет, остальные гири весят меньше 10, и потому в каждой из оставшихся 9 куч не меньше двух гирь. Так как всего оставшихся гирь — 18, в каждой из оставшихся 9 куч — ровно две гири. Таким образом, среди 20 наших гирь две весят по 10, а остальные разбиваются на пары общим весом 10 каждая.
   Разложим теперь все гири на 10 куч с равными весами. Вес каждой такой кучи — 11, а каждая гиря весит не больше 10, поэтому в каждой куче — не меньше двух гирь, а значит — ровно две. Отметим каждую гирю точкой на плоскости, каждые две гири, попавшие в одну кучу при раскладывании на 11 куч равного веса, соединим синей линией, а каждые две, попавшие в одну кучу при раскладывании на 10 куч равного веса — красной линией. Из гирь весом 10 выходит по одной красной линии в гири весом 1, а из всех остальных гирь — по одной красной и одной синей линии. Из гирь весом 1 выходят синие линии в гири весом 9, из гирь весом 9 — красные линии в гири весом 2, из гирь весом 2 — синие линии в гири весом 8. Ну а 8 в 4 раза больше, чем 2, что и завершает доказательство.