Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

2-ден үлкен натурал $n$ саны берілген. Егер $n!+n^3+1$ саны жай сан болса, онда $n^2+2$ санын екі жай санның қосындысы ретінде жазуға болатынын дәлелдеңіз. ( Д. Демин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Как известно, $n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1).$ Так как оба сомножителя в левой части тут меньше, чем ${(n+1)^2,}$ то если один из них — составное число, то у него есть делитель $d,$ больший 1, но не больший $n.$ Но тогда и число $n!+n^3+1$ делится на $d,$ что противоречит его простоте. Значит, числа $n^2-n+1$ и $n+1$ — простые, а в сумме они как раз дают $n^2+2.$