Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 8 класс

Решите в вещественных числах уравнение $ \sqrt{{{x}^{2}}-8x+41}+\sqrt{{{y}^{2}}+6y+25}=9. $

Комментарий/решение

$\sqrt{(x-4)^2+25}+\sqrt{(y+3)^2+16}=9$.

$(x-4)^2+25 \geqslant 25$, $(y+3)^2+16 \geqslant 16$, то есть сумма $\sqrt{(x-4)^2+25}+\sqrt{(y+3)^2+16}$ уже не меньше $5+4=9$. А равенство выполнено только при

$\left\{ \begin{array}{l} x-4=0, \\ y+3=0. \end{array} \right.$ то есть при $x=4$, $y=-3.$