Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс


Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению $125 \cdot 2^x-3^y=271.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2021-02-24 23:14:06.0 #

$Ответ: (3;6).$

Заметим что при $y=1$ решений нет, теперь можно считать $3^y$ делится на $9$. Рассмотрим остаток при делении на $9$, тогда из уравнении выходит что $2^{x+3}\equiv1 (mod 9)$, значит $x+3$ делится на $6$, $x=6k+3$. Теперь рассмотрим остаток при делении на 7, (так как $2^6-1$ делится на $7$) тогда $3^y \equiv 1 (mod 7)$, значит $y=6l$. Тогда правая часть уравнения представляет вид $a^3-b^3$ или $(a-b)(a^2-ab+b^2)$:

$(5*2^{2k+1}-3^{2l})(25*2^{4k+2}+5*2^{2k+1}*3^{2l}+3^{4l})=271$, $271$ простое число, заметим обе скобки положительны и вторая скобка больше еденицы, ясно что $5*2^{2k+1}-3^{2l}=1$, далее вторая скобка приводится в вид: $1^2-3*5*2^{2k+1}*3^{2l}=271$, далее легко выходит что $k=0 $,$ l=1$ и ответ задачи.