Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

Пусть $a,$ $b,$ $c$ — положительные целые числа такие, что $24a^2 + 2b^2 + 21c^2 = 24a + 2b + 21c.$ Найдите наименьшее значение выражения \[A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 21c)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 21c)}}} + \sqrt {\frac{c}{{a(24 + 2b + 21)}}} .\]

Комментарий/решение

If a;b;c целые и положительные, то

a;b;c=>1

and a^2;b^2;c^2=>a;b;c соответсвенно

то только тогда будет работать когда a=b=c=1

ответ: 3sqrt(1/48)

Решение полностью верное, единственная неточность $24+2+21=47$ и тогда $A = 3* \sqrt{1/47}$

i’m so stupid, sorry

Скорее всего тут тоже опечатка, должно быть не целые, а действительные

Вы правы!

Вот только жаль что работники не слушали меня, хотя это было очевидно...

Вот решение для положительных действительных $a, b, c$ . В решении взял знаминателя последнего слогаемого числа $A$ взял как $24a+2b+21$ , потому что не симметрично.

По неравенству Коши-Буняковсково

$47(24a^2+2b^2+21c^2)=(1^2+1^2+...+1^2)(a^2+a^2+...+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+...+c^2)\geq (a+a+...+a+b+b+c+c+...+c)^2=(24a+2b+21c)^2=(24a+2b+21c)(24a+2b+21c)=(24a+2b+21c)(24a^2+2b^2+21c^2)$.

Отсюда получаем

$$24a+2b+21c\leq 47$$

По неравенству $AM\geq GM$

$$A=\sqrt{\frac{a}{b(24+2b+21c)}}+\sqrt{\frac{b}{c(24a+2+21c)}}+\sqrt{\frac{c}{a(24a+2b+21)}}\geq3\cdot\ \sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b(24+2b+21c)}}\cdot \sqrt{\frac{b}{c(24a+2+21c)}}\cdot \sqrt{\frac{c}{a(24a+2b+21)}}}=3\cdot \sqrt[6]{\frac{abc}{abc(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)}}=\frac{3}{\sqrt[6]{(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)}}$$.

Снова по неравенству $AM\geq GM$

$$(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)\leq (\frac{(24+2b+21c)+(24a+2+21c)+(24a+2b+21)}{3})^3=(\frac{2(24a+2b+21c)+47}{3})^3\leq(\frac{2\cdot47+47}{3})^3=47^3$$

Значит,

$$A\geq\frac{3}{\sqrt[6]{(24+2b+21c)(24a+2+21c)(24a+2b+21)}}\geq\frac{3}{\sqrt[6]{47^3}}=\frac{3}{\sqrt{47}}=\frac{3\sqrt{47}}{47}$$.

Равенство достигается, когда $a=b=c=1$ . Значит, $\frac{3}{\sqrt{47}}$ - минимальное значение исходного выражения.