Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс


Покажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что $\dfrac{{{8^n} - 1}}{{{n^2} + n + 1}}$ также является натуральным числом.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2021-02-24 22:28:59.0 #

Рассмотрим число $n=2^{2^k}$. Так как если $m$ делится на $l$, то $2^m-1$ делится на $2^l-1$, тогда:

$8^n-1=2^{3n}-1$ делится на $2^{3*2^k}-1$ делится на $2^{2*2^k}+2^{2^k}+1=n^2+n+1$, что и требовалось доказать.