Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур заключительного этапа

Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт $k$ $(k > 0)$ рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет $k+1$ рублей, на третий — $k+2$ рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие $k,$ при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 2.
Решение. Покажем по индукции, что если Кощей в первый день внёс 2 рубля, то на $n$-ый день у него на счету будет $n$ рублей. База $n = 1$: на первый день два внесённых Кощеем рубля стараниями Спёрбанка тут же превратились в 1 рубль. Пусть на $n$-ый день на счету у Кощея оказалось $n$ рублей. Добавив на $(n+1)$-ый день $n+2$ рубля, Кощей получит на счету $(n+n+2)/2 = n+1$ рублей, что и требовалось доказать.
   Допустим теперь, что в первый день Кощей внёс $2+k$ рублей, где $k \ne 0.$ Покажем, что в этом случае у Кощея в $n$-ый день на счету будет $n+(k/2+k/4+\ldots +k/2^n)$ рублей. Из этого будет следовать единственность ответа 2, так как при $n = m+1,$ где $m$ — степень, с которой двойка входит в разложение числа $k$ на простые множители, сумма в скобках окажется дробной. База $n = 1$ индукции очевидна. Пусть на $n$-ый день на счету у Кощея оказалось $n+k/2+k/4+\ldots +k/2^n$ рублей. Добавив на $(n+1)$-ый день $n+2+k$ рублей, Кощей получит на счету $(2n+2+k+k/2+k/4+\ldots +k/2^n)/2 = n+1+k/2+k/4+\ldots +k/2^{n+1}$ рублей, что и требовалось доказать.