Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур заключительного этапа


На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R.$ Оказалось, что $AR = CR = PR+QR.$ Докажите, что из отрезков $AP,$ $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B.$ ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Отметим точки $K$ и $L$ на отрезках $CP$ и $AQ$ соответственно таким образом, чтобы $CK = RP,$ а $AL = RQ.$ Рассмотрим точку $M,$ симметричную $R$ относительно середины отрезка $AC.$ Нетрудно показать, что четырёхугольники $APKM$ и $CQLM$ — параллелограммы, поэтому треугольник $LKM$ — искомый. В самом деле, $MK = AP,$ $ML = CQ,$ $\angle LMK = \angle ABC$ (так как прямые $BA,$ $BC,$ $MK$ и $ML$ ограничивают параллелограмм), $RL = AR-AL = AR-QR = PR$ и, аналогично, $RK = QR,$ откуда $\triangle PRQ = \triangle LRK$ и $LK = PQ.$

  1
2021-03-27 21:54:08.0 #

Проведем прямую $l$ с точки $P$, параллельную стороне $BC$. Отметим точку $T$ на прямой $l$ так, что $PT=QC$. Получаем что $PQCT$ - параллелограмм, $\Rightarrow PQ=TC$. Отметим точку $S$ на стороне $RC$ такую, что $RS=RQ$, тогда $\triangle PRT$ равен $\triangle QSC$ ($PR=SC, PT=QC$, $\angle QSC$= $\angle RPT$ из-за параллельности). Тогда $ \angle PRT = \angle QSC$, $\Rightarrow$ $RT$ || $QS$. $ \angle CAQ$ + $\angle AQC$ = $\angle CAQ$ +$(180-(180-(180-2 $ <CAQ$)))/2=90$, $\Rightarrow QS$ перпендикулярен $RT$, но $RT$ || $QS$, отсюда следует , что $RT$ - высота и медиана треугольника $ARC$, то есть $AT=TC$ и $TC=PQ$.

Тогда $\triangle APT$ - искомый, так как соответствующие стороны равны, $ \angle APR$ = $ \angle B$